SISTEM BILANGAN REAL

Sistem Bilangan Real 

Bilangan riil atau bilangan real adalah sistem bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk desimal. Angka desimal adalah angka berbasis 10 yang dibentuk dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ahli matematika mendefinisikan notasi bilangan real sebagai simbol R.

Berkut ini diberikan himpunan-himpunan penting dari sistem bilangan real.

a.  Himpunan bilangan asli; {1, 2, 3, ...}, dinotasikan dengan    ℕ = {1, 2, 3, ...}. Bilangan asli biasa digunakan untuk menghitung. Himpunan bilangan asli biasa juga disebut dengan himpunan bilangan bulat positif.

b.  Himpunan bilangan bulat; {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, dinotasikan dengan ℤ= {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.

c.   Himpunan bilangan rasional; misalnya {16/2, 2/3, dsb}, dinotasikan dengan ℚ.

d.  Himpunan bilangan irasional; misalnya {2,3,7,π, dsb}, merupakanbilangan yang tidak rasional. Bilangan irasional tidak dapat ditulis dalam bentuk mn dengan m dan n bilangan bulat dan n ≠ 0.

Himpunan bilangan real sendiri dinotasikan dengan ℝ merupakan kumpulan dari semua bilangan rasional dan irasional yang dapat digunakan untuk mengukur panjang, beserta negatif dari bilangan-bilangan tersebut, dan nol. Bilangan real dapat dipandang sebagai penanda untuk titik-titik yang berada di sepanjang sebuah garis bilangan. Di situ, bilangan-bilangan ini mengukur jarak ke kanan dan ke kiri dari suatu titik asal (biasanya diberi label 0). Walaupun mustahil untuk menampilkan seluruh label tersebut, tetapi setiap titik pada dasarnya mempunyai sebuah label bilangan real yang unik.

Bilangan yang dimaksud dinamakan koordinat dari titik tersebut dan garis koordinat yang dihasilkan disebut garis real.

Operasi pada Bilangan Real

Misalkan a, b, dan c adalah bilangan real. Maka berlaku sifat berikut:

a.  Tertutup terhadap penjumlahan dan perkalianHasil operasi a + b dan ab adalah bilangan bulat real.

b.  Komutatif terhadap penjumlahan dan perkaliana + b = b + a dan ac = ca

c.   Assossiatif terhadap penjumlahan dan perkaliana + (b + c) = (a + b) + c dan a(bc) = (ab)c.

d.  Distributifa(b + c) = ab + ac.

e.  Memiliki elemen identitas (0 adalah elemen identitas terhadappenjumlahan, dan 1 adalah elemen identitas terhadap perkalian).a + 0 = 0 + a = a, dan 1a = a1 = a.

Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak

Jika a–b adalah bukan bilangan negatif, maka a lebih besar atau sama dengan b, ditulis a ≥ b, atau b lebih kecil dari atau sama dengan a, ditulis b ≤ a. Jika bilangan tersebut selain a = b, maka a > b atau b < a. Secara geometri, a > b jika koordinat a berada di sebelah kanan dari koordiat b.

Misalkan a, b, dan c adalah bilangan real. Maka berlaku sifat berikut:

a.  Trikotomi Tepat satu diantara yang berikut ini berlaku:a > b, a = b, atau a < b.

b.   Transitif Jika a > b dan b > c maka a > c .

c.   Penambahan Jika a > b maka a + c > b + c.

d.   Perkalian Jika a > b dan c > 0 maka ac > bcJika a > b dan c < 0 maka ac < bc.

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan tersebut menjadi suatu pernyataan yang benar. Berbeda dengan persamaan yang himpunan penyelesaiannya umumnya terdiri dari satu bilangan atau mungkin sejumlah berhingga bilangan saja, himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan biasanya terdiri dar suatu keseluruhan interval bilangan atau dalam beberapa kasus gabungan dari interval-interval yang demikian.

Pertidaksamaan a < x < b menunjukkan interval terbuka, dinotasikan dengan (a, b), yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b tidak termasuk a dan b. sementara a

≤ x ≤ b menunjukkan interval tertutup, dinotasikan dengan [a,

b], yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b termasuk a dan b itu sendiri.